APROKSIMASI

Mata Pelajaran : Matematika SMK
Kelas/Semester : X / 1

Standar Kompetensi
Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep aproksimasi kesalahan

Kompetensi Dasar
Menerapkan konsep kesalahan pengukuran
Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran

Dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak pernah lepas dari kegiatan membilang dan mengukur. Sedangkan dalam matematika kedua istilah tersebut memiliki makna yag berlainan. Oleh karena itu, untuk memperluaswawasan kita dalam masalah ini berikut akan disajikan materinya.
Demikian pentingnya pengukuran dalam kehidupan sehari-hari, baik itu menggunakan alat ukur konvensional dalam pengukuran maupun alat ukur modern dengan menggunakan sistem digital yang dapat digunakan secara otomatis dan mempunyai ketelitian yang sangat tinggi. Seteliti apapun dalam suatu pengukuran hasilnya tetap merupakan suatu pendekatan dengan ukuran sebenarnya. Oleh karena itu, artikel ini akan sangat membantu untuk memahami aturan pembulatan dalam suatu pangukuran dan bagaimana cara perhitungannya.

Definisi Membilang dan mengukur

Dalam matematika istilah mengukur dan membilang ini memiliki pengertian yang berbeda. Mengukur adalah membandingkan sesuatu yang diukur dengan besaran sejenis yang ditetapkan sebagai satuan atau suatu kegiatan atau proses mengidentifikasi dan mengumpulkan fakta/data, kemudian membandingkan fakta tersebut terhadap suatu parameter atau ukuran tertentu dengan tujuan tertentu. Contohnya: pengukuran panjang, luas, masa, waktu dll. Sedangkan membilang atau menghitung merupakan sesuatu yang pasti (Eksak). Contoh : banyak siswa di satu sekolah, suatu produk yang dihasilkan, dll.

Lalu apa yang dimaksud dengan Aproksimasi itu?

Aproksimasi adalah pembulatan nilai terhadap hasil pengukuran dan tidak berlaku untuk hal yang sifatnya eksak (seperti hasil membilang/menghitung).

A. Cara-cara pembulatan hasil pengukuran

1. Pembulatan ke satuan ukuran terdekat
Aturan :
Jika ada suatu bilangan yang angka berikutnya lebih dari atau sama dengan 5 (> 5), maka angka di depannya ditambah satu. Dan jika angka berikutnya kurang dari 5 (< 5), maka angka ini akan dihilangkan dan angka di depannya tetap.
Contoh : a. 3,5381 gram (bulatkan ke perseratusan gram terdekat)
b. 145,14 m (bulatkan ke persepuluhan meter terdekat)
Jawab : a. 3,54 gram b. 145,1 m
2. Pembulatan ke banyaknya angka desimal
Tujuan pembulatan ini untuk mempermudah dalam perhitungan.
Contoh :
Bulatkan hasil pengukuran 43,127539 gram sampai dengan : a. Lima tempat desimal b. Dua tempat desimal
Jawab : a. 43,12754 gram b. 43,13 gram

3. Pembulatan ke banyaknya angka penting (signifikan)
Aturan:
Angka penting : Semua angka bukan nol adalah penting, dan angka nol adalah penting kecuali angka nol yang berada di depan angka bukan nol pada bilangan desimal kurang dari 1.
Misal: 453,098 (ada 6 angka penting)
0,02010 (ada 4 angka penting)
Contoh
Bulatkan bilangan berikut hingga tiga angka penting: a. 0,017368 m b. 123,72 detik
Jawab : a. 0,0174 m b. 124 detik

B. Kesalahan Pengukuran
Definisi Kesalahan adalah selisih antara ukuran sebenarnya dengan ukuran yang diperoleh dari hasil pengukuran.
Jenis-jenis kesalahan pengukuran
 Salah Mutlak
Salah mutlak = 1/2 x Satuan ukuran terkecil
 Batas atas hasil pengukuran
Batas atas = hasil pengukuran + salah mutlak
 Batas bawah hasil pengukuran
Batas bawah = hasil pengukuran – salah mutlak
Contoh :
Diketahui hasil pengukuran:
a. 12 kg b. 5,9 m c. 6,17 l
Tentukanlah: i). Satuan ukuran terkecil
ii). Salah mutlak hasil pengukuran
iii) Batas atas dan batas bawah hasil pengukuran

Jawab :
a. i). Satuan ukuran terkecil =1 kg
ii). Salah mutlak = ½ (1 kg) = 0,5 kg
iii). Batas atas = 12 + 0,5 = 12,5 kg dan Batas bawah = 12 – 0,5 = 11,5 kg
b. i). Satuan ukuran terkecil =0,1 m
ii). Salah mutlak = ½ (0,1 m) = 0,05 kg
iii). Batas atas = 5,9 + 0,05 = 5,95m dan Batas bawah = 5,9 – 0,05 = 5,85 m
c. i). Satuan ukuran terkecil =0,01 l
ii). Salah mutlak = ½ (0,01 l) = 0,005 l
iii). Batas atas = 6,17 + 0,005 = 6,175 l dan Batas bawah = 6,17 – 0,005 = 6,165 l

 Salah Relatif
Salah Relatif = salah mutlak / hasil pengukuran
Persentase kesalahan
Persentase Kesalahan = salah relatif x 100 %

Contoh :
Tentukan salah relatif dan persentase kesalahan hasil pengukuran 3,4 mm!

Jawab :
Satuan ukuran terkecilnya = 0,1 mm
Salah mutlak = 1/2 x 0,1 = 0,05 mm
Salah relatif = 0,05/3,4 = 0,0147
Persentase kesalahan = 0,0147 x 100% = 1,47 %

 Toleransi Pengukuran
Toleransi dalam pengukuran merupakan selisih antara pengukuran terbesar dengan pengukuran terkecil yang dapat diterima.

Contoh :
Suatu benda memiliki massa (17 + 0,8) gr. Berapakah toleransinya?

Jawab :
Batas atas pengukuran = 17 + 0,8 = 17,8 gr
Batas bawah pengukuran = 17 – 0,8 = 16,2 gr
Maka toleransinya = 17,8 – 16,2 = 3,6 gr

C. Penjumlahan Hasil Pengukuran
Perhatikan contoh berikut:
Contoh:
Diketahui dua potong pipa dengan panjang masing-masing 3,2 cm dan 1,6 cm. jika kedua pipa tersebut disambungkan, tentukan panjang maksimum dan minimum sambungan pipa yang terjadi

Jawab :
Panjang pipa 1 : terletak pada jangkauan (3,2 + 0,05) cm, yaitu 3,25 cm dan 3,15 cm
Panjang pipa 2 : terletak pada jangkauan (1,6 + 0,05) cm, yaitu 1,65 cm dan 1,55 cm
Sehingga panjang maksimum = (3,25 + 1,65) cm = 4,9 cm dan
panjang minimum = (3,15 + 1,55) cm = 4,7 cm
Panjang sambungan terletak pada batas-batas 4,7 cm dan 4,9 cm atau ditulis dengan (4,8 + 1). Sehingga salah mutlak dari panjang sambungan dua pengukuran tersebut adalah 0,1.

D. Pengurangan Hasil Pengukuran
Perhatikan contoh berikut:
Contoh:
Berapakah selisih antara hasil-hasil pengukuran 5 cm dan 3 cm? (masing-masing bulatkan ke cm terdekat).

Jawab :
5 cm terletak dalam jangkauan (5 + 0,5) cm, yaitu 5,5 cm dan 4,5 cm.
3 cm terletak dalam jangkauan (3 + 0,5) cm, yaitu 3,5 cm dan 2,5 cm.
Selisih maksimum = (5,5 – 2,5) cm = 3 cm
Selisih Minimum = (4,5 – 3,5) cm = 1 cm
Hasil selisih terletak pada batas-batas 3 cm dan 1 cm atau (2 + 1).cm
Sehingga salah mutlak dari hasil selisih pengukuran tersebut adalah 1 cm.

E. Perkalian Pengukuran
Hasil perkalian maksimum dua pengukuran adalah sebagai berikut :
Hasil kali maksimum = ukuran maksimum x ukuran maksimum
Hasil kali minimum = ukuran minimum x ukuran minimum

Contoh :
Berapakah batas-batas luas persegi panjang dengan panjang 4,1 cm dan lebar 2,9 cm?

Jawab :
4,1 cm terletak dalam jangkauan (4,1 + 0,05) cm, yaitu 4,15 cm dan 4,05 cm.
2,9 cm terletak dalam jangkauan (2,9 + 0,5) cm, yaitu 2,95 cm dan 2,85 cm.
Sehingga:
Luas maksimum = (4,15)(2,95) cm2 = 12,2425 cm2 dan
Luas minimum = (4,05)(2,85) cm2 = 11,5425 cm2

Semoga bermanfaat, amiiin